[게임수학] 3장 - 벡터: 가상 공간의 탄생

'이득우의 게임수학' 책을 읽는 스터디의 정리 및 기록용으로 작성되었습니다.

 

평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하기 위해서는 원소를 정의해야 하고, 이를 벡터라고 한다.

데카르트 좌표계

직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식. 곱집합의 원어는 데카르트 곱(Cartesian Product)이다.

첫 번째 실수 집합의 미지수를 x, 수직으로 배치한 두 번째 실수 집합의 미지수를 y로 표기하고 원점을 기준으로 x축의 오른편, y축의 위편은 양의 영역을 나타낸다. 갈라진 영역은 총 4개의 분면으로 나뉘고, 왼쪽 위부터 반시계 방향으로 이름을 붙인다.

데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며 좌표(Coordinate)라고 부른다. ⇒ (x, y)

좌표는 수와 동일하게 원점으로부터의 화살표로 표현한다. 크기와 방향 두 가지 속성을 지닌다.

3.2 벡터 공간과 벡터

3. 2. 1 스칼라와 벡터

평면의 좌표 연산은 실수가 지니는 연산의 성질을 바탕으로 설계되어야 한다. 실수의 연산 성질은 체의 구조를 띄므로 이를 기반으로 새로운 공리를 덧붙여서 평면을 대표하는 집합을 규정하고, 해당 집합에서 이뤄지는 덧셈과 곱셈 연산 체례를 만들어 평면에서의 움직임을 표현 할 수 있다.

벡터 (Vector)

크기와 방향을 모두 갖는 양을 나타내는 개념. 보통 화살표로 표현하며, 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터의 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다.

두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것을 벡터 공간이라고 하며, 벡터 공간의 원소를 벡터 라고 한다.

스칼라 (Scala)

벡터의 크기를 나타내는 값. 스칼라는 벡터와 달리 방향이 없고 크기만 존재한다.

공리적 집합론의 관점에서는 특정한 수 집합을 지칭하지 않고 연산이 갖는 성질만 다루기 때문에, 좌푯값으로 사용하는 수를 실수로 규정하기 보다는 체의 구조를 지니는 집합, 즉 체 집합의 원소로 규정한다. 이렇게 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소를 스칼라라고 한다. 우리가 좌표로 사용하는 실수 x와 y는 모두 공리적 집합론의 관점에서 스칼라이다.

3. 2. 2 벡터 공간의 연산

공리적 집합론의 관점에서 정의된 벡터 공간은 두 가지 기본 연산이 존재한다.

1. 벡터와 벡터의 덧셈 (벡터의 합)
2. 스칼라와 벡터의 곱셈 (스칼라 곱셈/ 스칼라배)

위 둘은 선형성이 있어 선형 연산이라고도 한다.

선형 연산을 사용해 새로운 벡터를 생성하는 수식을 선형 결합(Linear Combination)이라고 한다.

벡터 공간의 8가지 공리

1. 벡터의 합의 결합법칙
2. 벡터의 합의 교환법칙
3. 벡터의 합의 항등원
4. 벡터의 합의 역원
5. 스칼라 곱셈의 호환성
6. 스칼라 곱셈의 항등원
7. 벡터의 합에 대한 분배법칙
8. 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙

3. 2. 3 벡터의 크기와 이동

수의 크기는 원점으로부터의 거리를 의미하며 절댓값 기호를 사용해 구할 수 있다. 벡터의 크기도 원점으로부터의 최단 거리를 의미한다. 피타고라스 정리를 사용해 거리를 측정한다.

벡터의 크기

노름(Norm) : 벡터의 크기

단위 벡터(Unit Vector) : 크기가 1인 벡터 - 벡터의 크기를 측정하는 기준.

정규화(Normalize) : 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 다듬는 작업.

3. 3 벡터의 결합과 생성

선형 독립의 관계를 가지는 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있다. 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식에는 서로 평행하지 않은 2개의 벡터가 필요하다. 선형 독립의 관계는 2개 이상의 벡터에서는 유지되지 않는다.

선형 연산

벡터의 합과 스칼라 곱셈 연산은 선형성이 있어 선형 연산이라고도 한다.

영벡터

벡터의 모든 원소가 0으로 구성된 벡터.

벡터 공간에서 덧셈의 항등원이다.

선형 결합 (일차 결합)

벡터 공간에서의 가장 기본적인 연산. 벡터 공간의 합.

벡터들을 스칼라배와 벡터 덧셈을 통해 조합하여 새로운 벡터를 얻는 연산이다.

선형 종속

모든 a가 0이 아님에도 영벡터를 만들 수 있을 때.

평행해서 선형 결합을 해도 결과가 직선상으로만 나올 때.

선형 독립 (일차 독립 집합/ 선형 독립 집합)

영벡터가 나오기 위해서 모든 a값이 0이어야 할 때.

모든 벡터가 남은 벡터들의 일차 결합으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합.

서로 같은 직선에 존재하지 않을 때.

기저 벡터 (Basis Vector)

벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합. 다른 모든 벡터는 기저벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 선형 독립적이어야 하며, 벡터 공간 내 모든 벡터는 기저벡터들의 선형 결합으로 표현된다. 기저 집합의 원소 수는 언제나 2개 뿐이다.

차원(Dimension)이라는 새로운 용어를 정의하는데 사용된다.

2차원 실벡터 공간 (Real Vector Space)

수 집합의 기호와 차원의 정보를 첨자로 결합해 ℝ²로 나타낸다.

단위벡터 집합

2차원을 구성하는 다양한 기저 중에서 한 축만 사용하는 단위벡터 (1, 0), (0, 1)로 구성된 집합

• 표준기저(Standard basis)
• 표준기저벡터(Standard basis vector)

3. 4 정리

벡터의 합과 스칼라 곱셈의 두 연산을 사용해 벡터를 이동시킬 수 있었다.

선형 결합, 선형 독립, 기저, 기저벡터, 차원 등의 다양한 용어와 개념을 살펴봤다.

행렬의 개념을 이해하기 위해서는 거시적인 관점에서 벡터 공간 전체가 새로운 벡터 공간으로 변환되는 원리를 파악해야 한다.