[게임수학] 2장 - 수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

'이득우의 게임수학' 책을 읽는 스터디의 정리 및 기록용으로 작성되었습니다.

2장.  수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위 (59~80p)

컴퓨터가 가상 세계를 구축하는 과정을 거슬러 올라가보면, 궁극적으로는 항상 참인 것으로 받아들여야 하는 수학의 명제로부터 모든것이 시작된다. 모니터 화면을 통해 보는 가상 세계의 본질은 체계화된 수들이 만들어 내는 질서에 불과할 뿐이다.

 

2.1 수와 집합

게임을 구성하는 가상 세계를 이해하기 위한 첫걸음은 집합이라는 개념으로 수를 이해하는 것이다.

의무교육에서 배운 집합은 서로 구분되는 원소로 구성된 묶음을 의미하며, 이러한 집합론을 소박한 집합론이라고 한다.

소박한 집합론의 관점에서는 용도에 따라 수집합을 정의하여 구분한다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 , 사원수 등이 있다.

하지만 소박한 집합론은 인간의 언어로 집합을 정의하기 때문에, 인간의 보편적인 관념에 의존 할 수밖에 없다.

우리는 앞으로 수가 가지는 특징을 분석하고 이를 확장해 가상 공간이라는 고차원의 체계를 만들어야 한다.

이러한 작업을 위해서 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해 줄 수 있는 명제가 필요하다. 명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리라고 하는데, 공리적 집합론에서는 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류한다.

 

2.1.1 연산과 수의 구조

수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 점이다. 이들은 두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어내기 때문에 이항연산이라고도 한다.

[ 이항 연산의 성질 6가지 ]

- 닫혀 있음 : 어떤 집합에서 두 원소를 사용한 이항연산의 결과가  항상 그 집합에 속하는 성질.

- 교환법칙 : 두 원소의 좌우 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질

- 결합법칙 : 세 원소의 연산 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질

- 분배법칙 : 두 이항 연산에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙을 모두 만족하는 성질

 

- 항등원 : 연산의 결괏값이 입력 그대로 나오는 수.

- 역원 : 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 수.

 

2.1.2 수의 구조

[ 11가지 공리 ]

1. 연산에 대해 닫혀 있다.
2. 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
3. 연산에 대한 항등원이 존재한다.
4. 연산에 대한 역원이 존재한다.
5. 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
6. 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
7. 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
8. 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
9. 두 번째 여산에 대해 교환법칙이 성립한다.
10. 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
11. 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다.(단, 0은 제외.)

유리수와 실수는 곱셉의 역원이 존재하기 때문에 덧셈과 곱셈 두 연산에 대해 앞서 열거한 11가지 공리를 모두 만족한다.

공리적 집합론에서 두 연산에 대해 1번부터 11번까지의 공리를 모두 만족하는 수 집합은 체의 구조를 지닌다고 표현한다.

체의 구조를 가지는 수 집합은 특별한 예외 상황 없이 덧셈과 곱셈을 안전하고 자유롭게 사용할 수 있다.

뺄셈과 나눗셈은 교환법칙을 만족하지 않기 때문에 체의 구조를 지니지 못한다. 하지만, 뺄셈 대신 덧셈의 역원을 사용하고 나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용하여 해결할 수 있다.

 

2.1.3 수의 표현

직선 상에 유리수의 원소를 모두 순서대로 나열할 때, 유리수는 무리수를  표현할 수 없기 때문에 직선의 어느 지점에서는 빈틈이 발생하게 된다. 이러한 빈틈을 무리수로 채워 완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들 수 있게 하는 수가 실수이다. 실수를 대응시켜 표현한 직선을 수직선이라고 한다.

실수의 모든 요소는 상호 간에 크기를 비교할 수 있다. 수가 지니는 방향의 속성은 부호를 사용해 나타내며, 크기의 속성은 원점으로부터의 거리를 의미한다. 

이항연산에서 왼쪽 항의 수를 물체를 구성하는 점으로 보고, 오른쪽 항의 수를 점을 이동시키는 힘으로 본다.

- 덧셈 연산 : 수의 위치를 이동시키는 작업

- 곱셈 연산 : 점의 위치를 지정된 배율만큼 늘리고 대칭시키는 작업

 

2.2 함수

함수란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계를 의미한다.

 

2.2.1 함수의 개념과 종류

다음 두 규칙이 성립되어야 함수로 인정받는다.

1. 첫 번째 집합의 모든 우너소에 대한 대응 관계가 존재해야 함
2. 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 함

- 정의역(입력) : 함수에서 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합

- 공역(출력) : 오른쪽에 위치한 두 번째 집합

- 치역 : 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모아 부분집합을 형성한 것

 

- 전사함수 : 공역의 모든 요소가 정의역에 대응하는 함수

- 단사함수 : 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수

- 전단사함수 : 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수

 

2.2.2 합성함수

- 합성함수 : 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산(함수의 합성)을 통해 만들어진 함수

 

2.2.3 항등함수와 역함수

- 항등함수 : 정의여과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수

- 역함수 : 두 집합의 대응 관계를 뒤집어 공역 Y에서 정의역 X로 대응하는 함수

 

2.2.4 곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장

- 곱집합 : 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합

곱집합의 요소는 각 집합의 원소 a와 b를 (a, b)와 같은 순서쌍으로 묶어 표현한다.

3.3 정리

소박한 집합론의 개념에서 벗어나 공리적 집합론의 개념에서 수를 정의해보고, 수가 가진 연산 체계를 파악해보고, 실수의 덧셈과 곱셈이 가지는 특징에 대해 익혔다. 덧셈과 곱셈 연산에 대한 11가지의 공리를 모두 만족하면 수 집합은 체의 구조를 가진다라고 표현하는데, 이렇게 공리로부터 설계된 수의 구조는 수의 용도를 확장시켜 가상 세계를 구축하는데 기반이 된다.